Menci

眉眼如初,岁月如故

在那无法确定的未来
只愿真心如现在一般清澈


「NOIP2016」组合数问题 - 递推 + 前缀和

组合数表示的是从 n n 个物品中选出 m m 个物品的方案数。举个例子,从 (1,2,3) (1, 2, 3) 三个物品中选择两个物品可以有 (1,2) (1, 2) (1,3) (1, 3) (2,3) (2, 3) 这三种选择方法。

根据组合数的定义,我们可以给出计算组合数的一般公式:

Cnm=n!m!(nm)! C_n ^ m = \frac{n!}{m!(n - m)!}

其中 n!=1×2××n n! = 1 \times 2 \times \cdots \times n

小葱想知道如果给定 n n m m k k ,对于所有的 0in 0 \leq i \leq n 0jmin(i,m) 0 \leq j \leq \min(i, m) 有多少对 (i,j) (i, j) 满足是 k k 的倍数。

链接

Luogu 2822
LYOI #102

题解

根据 Pascal 定理,有

Cnm=Cn1m1+Cn1m C_n ^ m = C_{n - 1} ^ {m - 1} + C_{n - 1} ^ {m}

预处理出每个 ,前缀和 s(u,i) s(u, i) 统计对于 1ji 1 \leq j \leq i ,有多少 。每次询问 O(n) O(n) 的在前缀和中求和即可。

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

const int MAXN = 2000 + 10;

int C[MAXN + 1][MAXN + 1], cnt[MAXN + 1][MAXN + 1];

int main() {
    freopen("problem.in", "r", stdin);
    freopen("problem.out", "w", stdout);

    int t, k;
    scanf("%d %d", &t, &k);

    for (int i = 1; i <= MAXN; i++) {
        C[i][0] = C[i][i] = 1;
        for (int j = 1; j < i; j++) {
            C[i][j] = (C[i - 1][j] + C[i - 1][j - 1]) % k;
        }

        for (int j = 1; j <= i; j++) {
            cnt[i][j] = cnt[i][j - 1];
            if (C[i][j] == 0) cnt[i][j]++;
        }
    }

    while (t--) {
        int n, m;
        scanf("%d %d", &n, &m);

        int ans = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            ans += cnt[i][std::min(i, m)];
        }

        printf("%d\n", ans);
    }

    fclose(stdin);
    fclose(stdout);

    return 0;
}