Menci

眉眼如初,岁月如故

在那无法确定的未来
只愿真心如现在一般清澈


「NOIP2013」火柴排队 - 逆序对

涵涵有两盒火柴,每盒装有 n n 根火柴,每根火柴都有一个高度。现在将每盒中的火柴各自排成一列,同一列火柴的高度互不相同,两列火柴之间的距离定义为

i=1n(aibi)2 \sum\limits_{i = 1} ^ n (a_i - b_i) ^ 2

其中 ai a_i 表示第一列火柴中第 i i 个火柴的高度,bi b_i 表示第二列火柴中第 i i 个火柴的高度。

每列火柴中相邻两根火柴的位置都可以交换,请你通过交换使得两列火柴之间的距离最小。请问得到这个最小的距离,最少需要交换多少次?

链接

CodeVS 3286

题解

显然,最优方案为,对于每一个 k[1,n] k \in [1, n] ,第一列中的第 k k 大和第二列中的第 k k 大在相同位置上。

构造一个数组 a a ,对于第二列火柴中的第 i i 个,设它为第二列中的第 k k 大,设第一列火柴中的第 k k 大为第 j j 个,则 a[i]=j a[i] = j 。求出 a a 的逆序对数即为答案。

代码

#include <cstdio>
#include <algorithm>

const int MAXN = 100000;
const int MOD = 99999997;

struct Match {
    int index, rank, value, w;
} a[MAXN + 1], b[MAXN + 1];

int n;

struct BinaryIndexedTree {
    int a[MAXN + 1];

    static int lowbit(int x) {
        return x & -x;
    }

    int query(int pos) {
        int res = 0;
        for (int i = pos; i > 0; i -= lowbit(i)) res += a[i];
        return res;
    }

    int query(int l, int r) {
        return query(r) - query(l - 1);
    }

    void update(int pos, int delta) {
        for (int i = pos; i <= n; i += lowbit(i)) a[i] += delta;
    }
} bit;

inline bool byVal(const Match &a, const Match &b) {
    return a.value < b.value;
}

inline bool byID(const Match &a, const Match &b) {
    return a.index < b.index;
}

int main() {
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i].value), a[i].index = i;
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &b[i].value), b[i].index = i;

    std::sort(a + 1, a + n + 1, &byVal);
    std::sort(b + 1, b + n + 1, &byVal);

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        a[i].rank = b[i].rank = i;
    }

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        b[i].w = a[i].index;
    }

    std::sort(b + 1, b + n + 1, &byID);

    // for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%d\n", b[i].w);

    long long ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        ans += bit.query(b[i].w + 1, n);
        bit.update(b[i].w, 1);
    }

    printf("%lld\n", ans % MOD);

    return 0;
}