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只愿真心如现在一般清澈


「HAOI2007」分割矩阵 - 搜索

将一个 n×m n \times m 的数字矩阵进行如下分割:将原矩阵沿某一条直线分割成两个矩阵,再将生成的两个矩阵继续如此分割(当然也可以只分割其中的一个),这样分割了 k1 k - 1 次后,原矩阵被分割成了 k k 个矩阵。(每次分割都只能沿着数字间的缝隙进行)原矩阵中每一位置上有一个分值,一个矩阵的总分为其所含各位置上分值之和。现在需要把矩阵按上述规则分割成 n n 个矩阵,并使各矩阵总分的均方差最小。请编程对给出的矩阵及 n n ,求出均方差的最小值。

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BZOJ 1048

题解

设答案为 s s ,分割出的所有矩阵分数分别为 x1xk x_1 \sim x_k ,设总和 S=i=1kxi S = \sum\limits_{i = 1} ^ k x_i 平均值 x=Sk x' = \frac{S}{k} ,则有

s2=i=1k(xiSk)2k=i=1k(xi2+(Sk)2+2xiSk)k=i=1kxi2k+i=1kS2k2k2(i=1kxi)Skk=i=1kxi2k+S2k22(i=1kxi)Sk2=i=1kxi2kS2k2=ki=1kxi2S2k2 \begin{aligned} s ^ 2 &= \frac{\sum\limits_{i = 1} ^ k (x_i - \frac{S}{k}) ^ 2}{k} \\ &= \frac{\sum\limits_{i = 1} ^ k(x_i ^ 2 + (\frac{S}{k}) ^ 2 + 2x_i\frac{S}{k})}{k} \\ &= \sum\limits_{i = 1} ^ k \frac{x_i ^ 2}{k} + \sum\limits_{i = 1} ^ k \frac{\frac{S ^ 2}{k ^ 2}}{k} - 2(\sum\limits_{i = 1} ^ k x_i) \frac{\frac{S}{k}}{k} \\ &= \sum\limits_{i = 1} ^ k \frac{x_i ^ 2}{k} + \frac{S ^ 2}{k^ 2} - 2 \frac{(\sum\limits_{i = 1} ^ k x_i) S}{k ^ 2} \\ &= \sum\limits_{i = 1} ^ k \frac{x_i ^ 2}{k} - \frac{S ^ 2}{k ^ 2} \\ &= \frac{k \sum\limits_{i = 1} ^ k x_i ^ 2 - S ^ 2}{k ^ 2} \end{aligned}

最小化 i=1kxi2 \sum\limits_{i = 1} ^ k x_i ^ 2 ,即每一块的平方和,即可。

记忆化搜索,f(i1,j1,i2,j2,k) f(i_1, j_1, i_2, j_2, k) 表示左上角为 (i1,j1) (i_1, j_1) ,右下角为 (i2,j2) (i_2, j_2) 的矩阵,切 k k 刀得到的每一块的平方和的最小值。转移时枚举横切或纵切的位置,枚举切出的两块继续切的次数。

n n m m 同阶,时间复杂度为 O(n4k×nk) O(n ^ 4 k \times nk)

代码

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <climits>
#include <algorithm>

const int MAXN = 10;

int n, m, k, a[MAXN + 1][MAXN + 1], s[MAXN + 1][MAXN + 1];

inline int sum(int i1, int j1, int i2, int j2) {
    return s[i2][j2] - s[i1 - 1][j2] - s[i2][j1 - 1] + s[i1 - 1][j1 - 1];
}

inline void prepare() {
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int sumLine = 0;
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            sumLine += a[i][j];
            s[i][j] = s[i - 1][j] + sumLine;
        }
    }
}

template <typename T> T sqr(T x) { return x * x; }

inline int search(int i1, int j1, int i2, int j2, int cnt) {
    static int mem[MAXN + 1][MAXN + 1][MAXN + 1][MAXN + 1][MAXN + 1];
    static bool calced[MAXN + 1][MAXN + 1][MAXN + 1][MAXN + 1][MAXN + 1];
    int &ans = mem[i1][j1][i2][j2][cnt];
    if (calced[i1][j1][i2][j2][cnt]) return ans;
    calced[i1][j1][i2][j2][cnt] = true;

    if (!cnt) {
        return ans = sqr(sum(i1, j1, i2, j2));
    }

    ans = INT_MAX;

    for (int i = i1; i < i2; i++) {
        for (int l = 0; l < cnt; l++) {
            int x1 = search(i + 1, j1, i2, j2, l);
            int x2 = search(i1, j1, i, j2, cnt - l - 1);
            if (x1 != INT_MAX && x2 != INT_MAX) ans = std::min(ans, x1 + x2);
        }
    }

    for (int j = j1; j < j2; j++) {
        for (int l = 0; l < cnt; l++) {
            int x1 = search(i1, j + 1, i2, j2, l);
            int x2 = search(i1, j1, i2, j, cnt - l - 1);
            if (x1 != INT_MAX && x2 != INT_MAX) ans = std::min(ans, x1 + x2);
        }
    }

    // printf("search(%d, %d, %d, %d, %d) = %d\n", i1, j1, i2, j2, cnt, ans);

    return ans;
}

int main() {
    scanf("%d %d %d", &n, &m, &k);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            scanf("%d", &a[i][j]);
        }
    }

    prepare();

    int ans = search(1, 1, n, m, k - 1);

    // printf("%d\n", ans);
    printf("%.2lf\n", sqrt((ans * k - sqr(s[n][m])) / static_cast<double>(sqr(k))));

    return 0;
}
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